ПОСТОЯННЫЙ ТОК · ТЕМА 03

Метод контурных токов

От физического смысла и выбора контуров до уравнений Кирхгофа, токов ветвей и независимой проверки мощности. Один последовательный подробный учебник.

01 / Сущность и применимость

1. Физическая сущность метода

Метод контурных токов позволяет заменить множество токов ветвей небольшим числом независимых контурных токов. Мы не вводим новые физические токи: контурные токи — вспомогательные неизвестные, из которых затем складываются действительные токи проводников. Амперметр в общей ветви измерит их алгебраическую сумму, а не каждый контурный ток по отдельности.

Предполагается, что уже известны закон Ома, последовательное соединение элементов и два закона Кирхгофа. Цель урока — научиться самостоятельно выбирать контуры, составлять уравнения с обоснованными знаками, находить токи и проверять результат. Полный расчёт одной цепи встроен в вывод; возвращаться к отдельному краткому режиму не требуется.

Ветвь соединяет два узла и может содержать несколько последовательных элементов с одним током. Контур — замкнутый путь, который не проходит через одну ветвь дважды. Независимые контуры дают уравнения, которые нельзя получить сложением остальных. Для плоской схемы удобно выбирать внутренние «окна» — элементарные контуры, не содержащие других ветвей внутри.

Почему это сокращает число неизвестных? Если мысленно пустить один ток по замкнутому контуру, в каждый его узел ток входит и из него выходит. Первый закон Кирхгофа выполнен. Алгебраическая сумма нескольких таких токов также сохраняет равенство входящих и выходящих токов. Поэтому после выбора контурного базиса достаточно наложить второй закон Кирхгофа и законы элементов.

Сколько неизвестных нужно

Для связного графа число независимых контуров равно числу ветвей минус число узлов плюс один:

m=b-n+1

Здесь $m$ — число независимых контуров, $b$ — число ветвей, $n$ — число узлов. Из $n$ узловых уравнений одно следует из остальных: каждый ток входит в одно уравнение и выходит из другого. Поэтому независимых ограничений на $b$ токов всего $n-1$ , а свободных токовых неизвестных остаётся $b-(n-1)$ .

В нашей цепи между основными узлами A и B три ветви, поэтому $b=3$ , $n=2$ , $m=2$ . Если считать каждый из пяти элементов отдельной ветвью, появятся ещё два промежуточных узла: $5-4+1=2$ . Оба способа подсчёта согласованы; смешивать число укрупнённых ветвей с числом всех узлов нельзя.

2. Область применимости и ограничения

В этом уроке рассматривается связная линейная цепь постоянного тока: идеальные источники напряжения и положительные сопротивления. Провода считаем идеальными, напряжение вдоль одного узла одинаковым. Модель сосредоточенных элементов не учитывает распространение волн, паразитные связи и нелинейную зависимость сопротивления от режима.

Плоская схема. Выбор токов по внутренним окнам удобен для планарного графа, который можно изобразить без пересечений несоединённых ветвей. Пересечение без электрического контакта не становится узлом. Для непланарного графа нужен общий базис независимых циклов либо другой метод, например узловых потенциалов; простое правило соседних окон переносить нельзя.
Источники тока. Ток внешней ветви может сразу задать контурный ток. Если идеальный источник тока находится между двумя контурами, обычная запись падения напряжения на нём не даёт известной величины. Используют суперконтур, обходящий источник, и дополнительное уравнение связи токов. Например, при согласованных стрелках общей ветви: $I_1-I_2=J$ . $J$ — заданный ток источника, а не его напряжение. В численном расчёте ниже таких источников нет.
Зависимые источники. Нужно добавить связь с управляющей величиной. Удобное правило симметричной резистивной матрицы не заменяет эти дополнительные уравнения.
Переменный ток и переходные процессы. Для линейного установившегося синусоидального режима метод можно записать с комплексными сопротивлениями и токами. При переходных процессах необходимы динамические законы индуктивностей и ёмкостей, начальные условия; приведённая ниже резистивная система сама по себе их не описывает.
Вырожденные идеальные цепи. Нулевые сопротивления и противоречивые идеальные источники могут приводить к неопределённости или отсутствию решения. Единственность решения нужно обосновывать для конкретной модели, а не предполагать автоматически.

Практический выбор метода определяется числом неизвестных: если независимых контуров немного, контурные токи удобны. При большом количестве контуров и малом числе узлов узловой метод может потребовать меньшую систему.

02 / Контуры и направления

3. Выбор независимых контуров

Рассмотрим ту же двухконтурную цепь. Верхний основной узел обозначен A, нижний — B. Левая ветвь содержит источник $E_1$ и сопротивление $R_1$ ; правая — $R_2$ и источник $E_2$ ; общая средняя ветвь — $R_3$ . Внутренним сопротивлением источников пренебрегаем. Значения источников и сопротивлений — исходные данные, а не округлённые результаты расчёта.

I₁ — левый контур I₂ — правый контур I₃: A → B

Величина	Значение
E₁	24 V
E₂	12 V
R₁	4 Ω
R₂	6 Ω
R₃	2 Ω

Выберем левое и правое внутренние окна. У каждого есть внешняя ветвь, не входящая в другой выбранный контур: это достаточный признак независимости здесь. Внешний обход всей цепи не нужен как третье независимое уравнение: он получается сложением двух выбранных обходов, при котором общая ветвь сокращается.

4. Направления токов и полярности

Оба контурных тока $I_1$ и $I_2$ направим по часовой стрелке. Направление выбирается до расчёта произвольно. Положительный ответ означает совпадение действительного тока с выбранной стрелкой; отрицательный — противоположное направление. Отрицательный ток не является физической ошибкой.

При таком выборе $I_1$ идёт по левой внешней ветви от B вверх через $E_1$ , затем через $R_1$ к A. $I_2$ идёт от A через $R_2$ вправо, затем вниз через $E_2$ к B. В средней ветви левый контур направлен от A к B, а правый — от B к A. Выбираем действительный ток общей ветви $I_3$ положительным от A к B:

I_3=I_1-I_2

Это разность из-за противоположных стрелок в общей ветви. В двух внешних ветвях контурный ток совпадает с током ветви. Для резисторов напряжение падения положительно со стороны входа выбранного тока: на $R_1$ — со стороны левого источника, на $R_2$ — со стороны A, на $R_3$ — со стороны A.

Полярности источников заданы схемой: у $E_1$ плюс сверху и минус снизу; у $E_2$ минус сверху и плюс снизу. Это физические данные, их нельзя менять ради удобного ответа. При обходе источника от минуса к плюсу потенциал возрастает на $E$ , от плюса к минусу — уменьшается на $E$ . Оба наших обхода по часовой стрелке проходят свой источник от минуса к плюсу, поэтому обе ЭДС появятся справа со знаком плюс.

Единое правило знаков для обхода

Записываем сумму изменений потенциала равной нулю. На источнике: $-\to+$ даёт $+E$ . На резисторе по направлению его выбранного тока: $-RI$ , против тока: $+RI$ . Затем переносим падения напряжения в левую часть, ЭДС — в правую. Не смешиваем в одной строке сумму изменений потенциала и сумму модулей падений.

03 / Вывод уравнений

5. Второй закон Кирхгофа: от обхода к системе

Начнём в B и обойдём левое окно по часовой стрелке. Подъём через источник даёт $+E_1$ ; движение через $R_1$ вдоль $I_1$ даёт $-R_1I_1$ ; движение через общий резистор от A к B даёт $-R_3(I_1-I_2)$ . Вернувшись в B, получаем нулевое суммарное изменение потенциала:

E_1-R_1I_1-R_3(I_1-I_2)=0

Переносим резистивные слагаемые, раскрываем скобки и собираем коэффициенты при каждом неизвестном. Каждая строка следует из предыдущей:

\begin{aligned}R_1I_1+R_3(I_1-I_2)&=E_1\\R_1I_1+R_3I_1-R_3I_2&=E_1\\(R_1+R_3)I_1-R_3I_2&=E_1\end{aligned}

Для правого окна начнём в A: через $R_2$ идём вдоль $I_2$ , через $E_2$ — сверху вниз от минуса к плюсу, через $R_3$ — от B к A. Ток общей ветви, отсчитанный вдоль этого обхода, равен $I_2-I_1$ . Поэтому:

E_2-R_2I_2-R_3(I_2-I_1)=0

\begin{aligned}R_2I_2+R_3(I_2-I_1)&=E_2\\R_2I_2+R_3I_2-R_3I_1&=E_2\\-R_3I_1+(R_2+R_3)I_2&=E_2\end{aligned}

Объединяем оба независимых уравнения:

\begin{cases}(R_1+R_3)I_1-R_3I_2=E_1\\-R_3I_1+(R_2+R_3)I_2=E_2\end{cases}

Величины $R_1+R_3$ и $R_2+R_3$ — собственные сопротивления контуров: сумма сопротивлений вдоль каждого обхода. Общее сопротивление $R_3$ участвует в обоих уравнениях, но не означает появления второго физического резистора.

6. Почему взаимное сопротивление имеет знак минус

Зафиксируем $I_1$ . Если увеличить $I_2$ , ток $I_1-I_2$ и падение в общей ветви левого обхода уменьшатся. Поэтому коэффициент при $I_2$ в первом уравнении отрицателен: $-R_3$ . Второе уравнение получается симметрично. Это следствие направлений, а не правило «перед чужим током всегда минус».

Если два выбранных контурных тока на общей ветви направлены одинаково, там получается сумма и положительный взаимный коэффициент. Для произвольного базиса знак каждого общего участка определяется отдельно. Условие «все контуры направлены по часовой стрелке» гарантирует встречные направления на общей стороне соседних окон плоской схемы.

Проверим это сменой координат, не меняя цепь. Развернём только второй контур и обозначим новый ток $J_2=-I_2$ . Нужно развернуть и его обход, а не только переименовать ток. Подстановка и умножение второго уравнения на $-1$ дают:

\begin{cases}6I_1+2J_2=24\\2I_1+8J_2=-12\end{cases}

Теперь общая ветвь имеет $I_3=I_1+J_2$ . Решение даст тот же физический ток: $J_2=-30/11$ A, $I_3=24/11$ A. Положительные взаимные коэффициенты и отрицательная правая часть второго уравнения полностью согласованы. Замена только одного знака без остальных связей изменила бы задачу.

7. Матричная форма и единственность решения

Система двух контуров записывается как произведение матрицы сопротивлений и столбца токов. Элементы матрицы измеряются в омах, токи — в амперах, столбец ЭДС — в вольтах:

\begin{aligned}\mathbf R_{\mathrm m}&=\begin{bmatrix}R_1+R_3&-R_3\\-R_3&R_2+R_3\end{bmatrix}\\\mathbf R_{\mathrm m}\begin{bmatrix}I_1\\I_2\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}E_1\\E_2\end{bmatrix}\end{aligned}

Подставим исходные данные. Например, первый диагональный элемент равен $4+2=6$ Ω, второй $6+2=8$ Ω, общий элемент $-2$ Ω. Далее в численных уравнениях коэффициенты сопротивлений подразумеваются в Ω, ЭДС — в V, искомые токи — в A:

Численная система в единицах СИ

\begin{cases}6I_1-2I_2=24\\-2I_1+8I_2=12\end{cases}

\underbrace{\begin{bmatrix}6&-2\\-2&8\end{bmatrix}}_{\mathbf R_{\mathrm m}}\begin{bmatrix}I_1\\I_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}24\\12\end{bmatrix}

Для этой резистивной цепи матрица симметрична: одна общая ветвь создаёт одинаковые взаимные коэффициенты. Её определитель:

\begin{aligned}\Delta&=(6\cdot8-(-2)^2)\,\Omega^2\\&=44\,\Omega^2>0\end{aligned}

Ненулевой определитель означает единственное решение. В общем символическом виде здесь:

\begin{aligned}\Delta&=(R_1+R_3)(R_2+R_3)-R_3^2\\&=R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3>0\end{aligned}

Последнее неравенство использует положительность всех трёх сопротивлений. Оно относится к данной модели; при управляемых источниках или идеальных вырожденных связях его нельзя заявлять без отдельной проверки.

04 / Решение и токи ветвей

8. Решение системы: исключение и правило Крамера

Для двух неизвестных наглядно исключить $I_2$ . Умножим всё первое уравнение на 4, включая правую часть; второе оставим прежним. Коэффициенты при $I_2$ станут противоположными:

\begin{aligned}24I_1-8I_2&=96\\-2I_1+8I_2&=12\\\hline22I_1&=108\end{aligned}

Делим на 22 и сокращаем дробь. Значения храним точно; десятичную запись округляем только для вывода:

I_1=\frac{108}{22}\,\mathrm A=\frac{54}{11}\,\mathrm A

I_1\approx4.91\,\mathrm A

Вернёмся во второе уравнение и сначала выразим $I_2$ . Подставляем точную дробь, а не число 4.91:

\begin{aligned}8I_2&=12+2I_1\\I_2&=\frac{12+2\cdot54/11}{8}\,\mathrm A\\&=\frac{132+108}{88}\,\mathrm A\\&=\frac{30}{11}\,\mathrm A\end{aligned}

I_2\approx2.73\,\mathrm A

То же решение можно проверить правилом Крамера. В определителе $\Delta_1$ заменяем первый столбец матрицы на столбец ЭДС, в $\Delta_2$ — второй. Размерность таких определителей V·Ω, поэтому после деления на $\Delta$ получаются амперы:

\begin{aligned}\Delta_1&=\begin{vmatrix}24&-2\\12&8\end{vmatrix}\\&=(24\cdot8+2\cdot12)\,\mathrm{V}\Omega\\&=216\,\mathrm{V}\Omega\end{aligned}

\begin{aligned}\Delta_2&=\begin{vmatrix}6&24\\-2&12\end{vmatrix}\\&=(6\cdot12+2\cdot24)\,\mathrm{V}\Omega\\&=120\,\mathrm{V}\Omega\end{aligned}

\begin{aligned}I_1&=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{216}{44}\,\mathrm A=\frac{54}{11}\,\mathrm A\\I_2&=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{120}{44}\,\mathrm A=\frac{30}{11}\,\mathrm A\end{aligned}

Для больших систем обычно применяют метод Гаусса с выбором ведущего элемента или матричное разложение. Явно вычислять обратную матрицу ради решения системы не требуется. Маленький определитель относительно масштабов коэффициентов требует проверки обусловленности и точности, а не только сравнения с абсолютным нулём. Здесь ручное исключение и точные дроби позволяют проверить каждый шаг.

9. Действительные токи ветвей и напряжения

Во внешних ветвях токи равны найденным контурным токам. В общей ветви вычитаем их с учётом выбранной стрелки A→B:

Ток в общей ветви

\begin{aligned}I_3&=I_1-I_2\\&=\frac{54-30}{11}\,\mathrm A\\&=\frac{24}{11}\,\mathrm A\approx2.18\,\mathrm A\end{aligned}

Все три тока в выбранных направлениях положительны: левая внешняя ветвь B→A, правая A→B через $R_2,E_2$ , средняя A→B. Если бы $I_2>I_1$ , ответ для $I_3$ был бы отрицательным, а действительный средний ток шёл бы вверх. Складывать $I_1+I_2$ при исходных направлениях по часовой стрелке нельзя.

По закону Ома находим падения напряжения вдоль соответствующих токов. Точные дроби исключают накопление округления:

\begin{aligned}U_{R_1}&=R_1I_1=\frac{216}{11}\,\mathrm V\\&\approx19.6\,\mathrm V\\U_{R_2}&=R_2I_2=\frac{180}{11}\,\mathrm V\\&\approx16.4\,\mathrm V\\U_{R_3}&=R_3I_3=\frac{48}{11}\,\mathrm V\\&\approx4.36\,\mathrm V\end{aligned}

Напряжение $U_{R_3}=V_A-V_B$ . Если принять потенциал B за ноль, верхний вывод левого источника имеет 24 V, верхний вывод правого имеет−12 V, а узел A — $48/11$ V. Положительное падение на $R_2$ равно разности потенциалов A и правого верхнего вывода: $48/11-(-12)=180/11$ V. Так проверяется согласованность схемы, знаков и напряжений без изменения полярности $E_2$ .

05 / Проверки и типичные ошибки

10. Проверка по Кирхгофу и балансу мощностей

Подстановка в исходную систему. Проверяем обе строки, используя точные ответы:

\begin{aligned}6\frac{54}{11}-2\frac{30}{11}&=\frac{264}{11}=24\\-2\frac{54}{11}+8\frac{30}{11}&=\frac{132}{11}=12\end{aligned}

Первый закон Кирхгофа. В узел A входит ток левой ветви, выходят токи правой и средней:

I_1-I_2-I_3=\frac{54-30-24}{11}\,\mathrm A=0

Второй закон Кирхгофа в напряжениях. Для левого окна сумма падений равна ЭДС. В правом окне общая ветвь проходится против $I_3$ , поэтому её падение вычитается:

\begin{aligned}U_{R_1}+U_{R_3}&=\frac{216+48}{11}\,\mathrm V=24\,\mathrm V\\U_{R_2}-U_{R_3}&=\frac{180-48}{11}\,\mathrm V=12\,\mathrm V\end{aligned}

Независимая проверка узловым методом. Обозначим $V_B=0$ . Из полярностей источников внешние потенциалы равны 24 V и−12 V. Напишем сумму токов, выходящих из A, равной нулю:

\frac{V_A-24}{4}+\frac{V_A+12}{6}+\frac{V_A}{2}=0

Числа здесь заданы в единицах СИ. Умножим уравнение на 12 Ω, раскроем скобки и соберём напряжение:

\begin{aligned}&3(V_A-24)+2(V_A+12)\\&\quad+6V_A=0\\&3V_A-72+2V_A+24\\&\quad+6V_A=0\\&11V_A-48=0\\&V_A=\frac{48}{11}\,\mathrm V\end{aligned}

Теперь $I_1=(24-V_A)/4$ , $I_2=(V_A+12)/6$ , $I_3=V_A/2$ : получаем те же 54/11,30/11,24/11 A. Эта проверка использует другие неизвестные и уравнение KCL, а не повторное решение той же контурной системы.

Мощности резисторов. Каждый положительный резистор поглощает $I^2R$ . Для общей ветви нужен действительный ток $I_3$ , а не $I_1$ или $I_2$ отдельно:

\begin{aligned}P_R&=I_1^2R_1+I_2^2R_2\\&\quad+(I_1-I_2)^2R_3\end{aligned}

\begin{aligned}P_{R_1}&=\left(\frac{54}{11}\right)^2\!\cdot4\,\mathrm W\\&=\frac{11664}{121}\,\mathrm W\approx96.4\,\mathrm W\\P_{R_2}&=\left(\frac{30}{11}\right)^2\!\cdot6\,\mathrm W\\&=\frac{5400}{121}\,\mathrm W\approx44.6\,\mathrm W\\P_{R_3}&=\left(\frac{24}{11}\right)^2\!\cdot2\,\mathrm W\\&=\frac{1152}{121}\,\mathrm W\approx9.52\,\mathrm W\end{aligned}

Источники и знак мощности. По пассивному правилу знаков мощность положительна, если ток входит в положительный вывод элемента. В обоих источниках этой схемы ток входит в отрицательный вывод и выходит из положительного: оба источника отдают энергию. Поэтому их поглощаемые мощности равны $-E_1I_1$ и $-E_2I_2$ . Отдаваемую суммарную мощность обозначим положительной величиной $P_E$ :

\begin{aligned}P_E&=E_1I_1+E_2I_2\\&=24\frac{54}{11}\,\mathrm W+12\frac{30}{11}\,\mathrm W\\&=\frac{1656}{11}\,\mathrm W\end{aligned}

\begin{aligned}P_R&=\frac{11664+5400+1152}{121}\,\mathrm W\\&=\frac{18216}{121}\,\mathrm W\\&=\frac{1656}{11}\,\mathrm W=P_E\end{aligned}

P_R=P_E\approx151\,\mathrm W

Баланс эквивалентен нулевой сумме поглощаемых мощностей всех пяти элементов. Использованы точные дроби; число 151 W содержит три значащие цифры. Для инженерного вывода токи, напряжения и мощности округлены до трёх значащих цифр, исходные данные не округлялись. Складывать уже округлённые мощности для проверки строгого равенства не следует: промежуточное округление создаёт небольшую разницу.

Точные невязки KCL, обоих KVL и баланса мощности равны нулю. Контурный и узловой расчёты согласованы.

Один баланс мощности не гарантирует правильность всех знаков: ошибочная схема тоже может удовлетворять собственному балансу. Нужны совместно исходные полярности, направления, подстановка в уравнения и независимая проверка.

11. Типичные ошибки и рабочий алгоритм

Смешать ток ветви и ток контура. Через $R_3$ течёт $I_1-I_2$ , поэтому там нельзя писать $R_3I_1$ или $R_3(I_1+I_2)$ при исходных стрелках.
Считать любую ЭДС положительной. Знак определяется проходом через её выводы. В этой схеме обе ЭДС положительны в выбранных обходах по часовой стрелке благодаря разным полярностям источников.
Поменять только знак взаимного коэффициента. Разворот контура меняет также соответствующие обход, ЭДС и связь с током общей ветви. Проверка с $J_2=-I_2$ показывает полный согласованный переход.
Выбрать зависимые контуры. Два внутренних окна уже дают базис. Внешний обход не добавляет третьего независимого неизвестного.
Забыть правую часть при умножении строки. При исключении первое уравнение целиком умножается на 4; 24 превращается в 96.
Отбросить отрицательный ответ. Он указывает на обратное направление относительно выбранной стрелки. Знак нужно сохранить и при расчёте напряжений и мощности источника.
Использовать округлённые токи в проверках. Подставляем точные дроби или полную внутреннюю точность; округляем только отображаемый результат.
Проверить только ответ решателя. Сначала проверяем саму модель и направления, затем KCL/KVL, мощности и по возможности альтернативный метод. Единицы в каждой сумме должны совпадать.

Рабочая последовательность: обозначить узлы и ветви → выбрать независимые контуры → зафиксировать стрелки и полярности → выразить токи общих ветвей → записать KVL по обходам → собрать и решить систему → восстановить токи ветвей и напряжения → проверить KCL, KVL и мощность. Если проверка не сошлась, возвращаемся к первому неверному равенству, а не подгоняем финальный знак.

Источники для дальнейшего изучения

Общий алгоритм и работу с идеальными источниками тока можно сопоставить с конспектом Rich Kozick, Bucknell University — Outline of Mesh-Current Method. Контурный и узловой подходы рассмотрены в ECE10A, Lecture10, Loai G. Salem, University of California, Santa Barbara. Текст, схема и численный вывод данного урока изложены самостоятельно; ссылки не подменяют выполненные выше проверки.

Примеры решений

Продолжите изучение на четырёх схемах: от одного источника до трёх контуров и суперконтуров.

Перейти к подробным примерам решений →

ПРОВЕРКА ЗНАНИЙ

Проверьте ток общей ветви

По результатам примера найдите I₃ = I₁ − I₂ и введите значение в амперах.

Продолжайте обучениеТемы и практические лаборатории

Метод контурных токов

1. Физическая сущность метода

2. Область применимости и ограничения

3. Выбор независимых контуров

4. Направления токов и полярности

5. Второй закон Кирхгофа: от обхода к системе

6. Почему взаимное сопротивление имеет знак минус

7. Матричная форма и единственность решения

8. Решение системы: исключение и правило Крамера

9. Действительные токи ветвей и напряжения

10. Проверка по Кирхгофу и балансу мощностей

11. Типичные ошибки и рабочий алгоритм

Источники для дальнейшего изучения

Примеры решений

Проверьте ток общей ветви

Лаборатории

Инструменты

Установить приложение

1. Физическая сущность метода

2. Область применимости и ограничения

3. Выбор независимых контуров

4. Направления токов и полярности

5. Второй закон Кирхгофа: от обхода к системе

6. Почему взаимное сопротивление имеет знак минус

7. Матричная форма и единственность решения

8. Решение системы: исключение и правило Крамера

9. Действительные токи ветвей и напряжения

10. Проверка по Кирхгофу и балансу мощностей

11. Типичные ошибки и рабочий алгоритм

Источники для дальнейшего изучения

Примеры решений

Проверьте ток общей ветви

Материалы по теме

Лаборатории

Инструменты